বিপরীত ম্যাট্রিক্সের শর্ত

১. নির্ণায়ক শূন্য না হওয়া:
একটি বর্গম্যট্রিক্সের বিপরীত থাকতে হলে এর নির্ণায়ক শূন্য হওয়া যাবে না। অর্থাৎ, যদি $|A| = 0$ হয়, তাহলে $A$-এর কোনো বিপরীত ম্যাট্রিক্স থাকবে না, এবং তাকে সিংগুলার (Singular) ম্যাট্রিক্স বলা হয়।

২. বিপরীত ম্যাট্রিক্সের বৈশিষ্ট্য:
$(A^{-1})^{-1} = A$ এবং $(A \times B)^{-1} = B^{-1} \times A^{-1}$।

বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয়ের পদ্ধতি

১. সহগুণক এবং অনুরাশি ব্যবহার করে বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় (Cofactor and Adjoint Method)

একটি $n \times n$ ম্যাট্রিক্সের বিপরীত নির্ণয়ের জন্য নিচের ধাপগুলো অনুসরণ করতে হয়:

1. সহগুণক ম্যাট্রিক্স বের করা (Cofactor Matrix):
   প্রতিটি উপাদানের সহগুণক বের করে সহগুণক ম্যাট্রিক্স তৈরি করতে হয়।
2. অ্যাডজয়েন্ট ম্যাট্রিক্স নির্ণয় (Adjugate Matrix):
   সহগুণক ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ নিলে অ্যাডজয়েন্ট ম্যাট্রিক্স পাওয়া যায়।

3. বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয়:
   নির্ণায়ক শূন্য নয় এমন ম্যাট্রিক্সের জন্য বিপরীত ম্যাট্রিক্স $A^{-1}$ বের করা যায়:

   $$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \times \text{adj}(A)$$

   এখানে $|A|$ হলো $A$-এর নির্ণায়ক এবং $\text{adj}(A)$ হলো অ্যাডজয়েন্ট ম্যাট্রিক্স।

উদাহরণ:

ধরা যাক,

A=(42​76​)

ধাপ ১: নির্ণায়ক নির্ণয়

∣A∣=(4×6)−(7×2)=24−14=10

ধাপ ২: সহগুণক ম্যাট্রিক্স বের করা

প্রতিটি উপাদানের জন্য অনুরাশি বের করে এবং সহগুণক চিহ্ন প্রয়োগ করে, আমরা পাই:

Cofactor Matrix=(6−2​−74​)

ধাপ ৩: অ্যাডজয়েন্ট ম্যাট্রিক্স নির্ণয়

সহগুণক ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ নিলে পাই:

adj(A)=(6−7​−24​)

ধাপ ৪: বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয়

$$= \begin{pmatrix} 0.6 & -0.2 \\ -0.7 & 0.4 \end{pmatrix}$$